假设检验
某类型电池的寿命必须超过$\mu_0=100$小时才算合格，现随机抽检了$n=50$个样品，发现平均使用寿命为$\overline x=98$小时，样本标准差为$s=5$小时，如果取显著性水平为$\alpha=0.025$，那么该厂的电池能否采购？
$$H_0:\mu\geqslant\mu_0, H_1:\mu<\mu_0$$
$$t=\frac{\overline x-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$
$$t=\frac{98-100}{5/\sqrt{50}} = -2.828 < qt(0.025,49)=-2.009575$$
拒绝原假设。
矩估计
样本均值
$\overline X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i$
样本方差
$S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$
样本标准
$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}$
样本k阶（原点）矩
$A_k=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^k$
样本k阶中心矩
$A_k=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^k$
其中，样本方差和样本二阶中心距只是分母不同，一个是n-1，一个是n
样本二阶中心距 与 样本方差
样本方差是总体方差的无偏估计，如果系数为1/n的话，则不是总体方差的无偏估计，这样就是去了样本方差的意义。
无偏性
参数估计量的期望 等于 该参数的真值。
有效性
如果一个参数有两个无偏估计量，我们说方差较小的估计量是相对有效的。方差最小的估计量就是有效估计量。
一致性
如果随着样本量的增大，估计量和参数的差变小，那么我们说这个无偏估计量具有一致性。用方差来测度二者相似的程度。一致性是在无偏性的基础上退而求其次，有时候我们反而更加关注一致性。
分位点
qt(0.025, 100)
分布函数
pt(1.96, 100)
例子
设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a，b未知。X1,X2,…,Xn是来自X的样本，试求a，b的矩估计量。
解：
一阶（原点）距 $\mu_1$
$\mu_1=E(X)=(a+b)/2=\overline X$
二阶（原点）矩 $\mu_2$
$\mu_2=E(X^2)=D(x)+[E(X)]^2=(b-a)^2/12+(a+b)^2/4 = \frac1{\mathbf n}\sum_{i=1}^nX_i^2]$
解方程
$\begin{cases}
a+b=2\mu_1 \\
b-a=\sqrt{12(\mu_2-\mu_1^2)}
\end{cases}$
解得，
$a=\mu_1-\sqrt{3(\mu_2-\mu_1^2)}$
$b=\mu_1+\sqrt{3(\mu_2-\mu_1^2)}$
注意，
$\mu_2-\mu_1^2=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2-\overline X^2$
$\mu_2-\mu_1^2=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^2-\frac1n\sum_{i=1}^n\overline X^2$
$\mu_2-\mu_1^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i^2-\overline X^2)$
$\mu_2-\mu_1^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$
即为二阶中心距$m_2$
所以参数a，b的矩估计为，
$a=\overline X-\sqrt{3m_2}$
$b=\overline X+\sqrt{3m_2}$
Reference
https://www.zhihu.com/question/22983179
